Комплексные числа, в традиционном смысле этого слова, не являются числами, применяемыми при подсчетах и измерениях, а являются математическими объектами, которые определяются представленными ниже свойствами.
Используют 3 формы комплексного числа: алгебраическую, показательную, тригонометрическую.
Форма алгебраическая
Комплексные числа обозначают выражением &omega- + &nu-i, где действительными являются &omega- и &nu-, а символ i, определяется условием i2 - 1 - единица мнимая.
Соответственно число комплексное &omega- + &nu-i делится на действительную и мнимую часть. Для удобства изображают его одной буквой (например &eta-): &eta- = &omega- + &nu-i.
Части числа комплексного &eta- = &omega- + &nu-i, действительную и мнимую, обозначают &omega- = Re&eta-, &nu- = It&eta- соответственно.
Равными считаются комплексные числа, когда эквивалентны их и действительные и мнимые части. Равным нулю считается комплексное число, если его части, действительная и мнимая, равны нулю.
Арифметические действия
Сложение
Суммой комплексных чисел именуют число комплексное, действительная часть которого эквивалентна сумме действительных частей, а мнимая эквивалентна сумме мнимых частей:
&eta-=(&omega-1+&omega-2)+(&nu-1+&nu-2)i.
Говорят что в числе комплексном &eta- обрели в результате сложения чисел комплексных :
&eta-=&eta-1+&eta-2.
Комплексные &eta-1 и &eta-2 именуют слагаемыми.
Законы операции сложения:
1) закон ассоциативности;
2) закон коммутативности .
Число комплексное -&omega--bi называют комплексному числу &omega-+&nu-i противоположным. Сумма противоположных комплексных чисел равняется нулю.
Разница
Разницей чисел комплексных называют число комплексное &eta- равное сумме числа &eta-1 и числа противоположного &eta-2:
&eta-=&eta-1+(-&eta-2)=(&omega-1-&omega-2)+(&nu-1-&nu-2)i.
О числе комплексном &eta- говорят, что его обрели в результате вычитания &eta-2 и &eta-1 (чисел комплексных), и записывают:
&eta-=&eta-2-&eta-1.
Произведение
Произведением чисел комплексныхявляется число комплексное:
&eta-=(&omega-1&omega-2-&nu-1&nu-2)+(&omega-1&nu-1+&omega-2&nu-1)i.
О числе комплексном &eta- говорят, что его получили умножением &eta-1 на &eta-2 (числа &eta-1 и &eta-2 - комплексные), и записывают:
&eta-=&eta-1&eta-2.
Комплексные &eta-1 и &eta-2 именуют множителями.
Законы операции умножения чисел комплексных:
1) закон ассоциативности;
2) закон коммутативности .
Деление
Частным чисел комплексных называют такое комплексное &eta-, что &eta-1=&eta-1:&eta-2 (&eta-2 &ne- 0). Частное чисел комплексных вычисляют по формуле:
&eta-=(&omega-1&omega-2-&nu-1&nu-2)/(&omega-2+&nu-2)+(&omega-1&nu-1+ &omega-2 &nu-1)i/(&omega-2+ &nu-2).
О числе &eta- говорят, что его получили в результате деления &eta-1 на &eta-2, и записывают:
&eta-=&eta-1/&eta-2.
Сложение и умножение чисел комплексных связаны правилом, которое называется дистрибутивным законом умножения касательно сложения.
Тригонометрические комплексные числа
Применяют также другую форму записи чисел комплексных, которая называется тригонометрической.
Число комплексное &omega- + &nu-i записать можно так:
&eta-=k(cos&beta-+isin&beta-), где k2=&omega-2+&nu-2.
Это выражение - форма записи чисел комплексных, которая носит название тригонометрической. Модуль числа комплексного - действительное число k, а угол &beta-, измеренный в радианах - его аргументом.
Если число комплексное не равно нулю, то модуль его положительный- если же &eta-=0, иначе говоря &omega-=&nu-=0, то и модуль его равен нулю. Модуль определен однозначно.
Произведением тригонометрических комплексных чисел является модуль числа комплексного, который эквивалентен произведению множителей, вернее, их модулей, а аргумент эквивалентен сумме аргументов множителей:
&eta-1&eta-2=k1k2[cos(&beta-1+&beta-2)+isin(&beta-1+&beta-2)].
Частным тригонометрических комплексных чисел, которые не равны нулю, является число комплексное, модуль которого эквивалентен частному делимого и делителя (их модулей), а аргумент эквивалентен разнице аргументов делимого и делителя:
&eta-1/&eta-2=k1/k2[cos(&beta-1-&beta-2)+isin(&beta-1-&beta-2)].
Натуральная степень числа комплексного
В математике n-й степенью комплексного &eta- называют комплексное w, найденное в результате умножения &eta- комплексного n раз само на себя: w = &eta-&eta-...&eta-.
Обычно используют короче запись:
w=&eta-n,
в котором число &eta- - основа степени, а n (число натуральное)- показатель степени.
n-я степень &eta- (число комплексное), которое задано в тригонометрической форме, вычисляется по формуле:
&eta-n=kn(cosn&beta-+isinn&beta-).
Эта формула носит название - формула Муавра.
Внимание, только СЕГОДНЯ!